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Die Farben der Quadratzahlen

Kleine Anleitung zum mathematischen Staunen | Rudolf Taschner

E-Book (EPUB)
2019 Carl Hanser Verlag Gmbh & Co. Kg
272 Seiten
ISBN: 978-3-446-26503-5

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Als Hardcover erhältlich

Kurztext / Annotation
Eine Liebeserklärung an den Zauber der Zahlen und eine fulminante Reise durch die Mathematik. 'Taschner ist ein begnadeter Geschichtenerzähler.' F.A.Z.
Wie kann etwas zugleich korrekt, aber nicht wahr sein? Was verrät ein Kartenspiel über das Wesen der Zeit? Und was haben Quadratzahlen mit Farben zu tun? Rudolf Taschner nimmt uns mit auf eine fulminante Reise an die Grenze von Mathematik und Philosophie und zeigt, dass in Zahlen Antworten auf die größten Fragen verborgen liegen. Wir erfahren, warum schon Pythagoras in den Zahlen den Ursprung des Kosmos erblickte und weshalb Nobelpreisträger bis heute darüber rätseln, warum die Mathematik die Natur auf so wundersam treffende Weise zu beschreiben vermag. 'Die Farben der Quadratzahlen' ist ein Buch voller verblüffender Fakten, das zum Staunen über die Schönheit der Mathematik einlädt.

Rudolf Taschner, geboren 1953 in Ternitz, ist seit 1977 Professor an der Technischen Universität Wien. Taschner gründete zusammen mit seiner Frau und Kollegen der TU Wien den math.space , einen Veranstaltungsort im Wiener MuseumsQuartier, der Mathematik als kulturelle Errungenschaft präsentierte. 2004 wurde Rudolf Taschner zum Wissenschaftler des Jahres gewählt. 2011 erhielt er den Preis der Stadt Wien für Volksbildung. Zuletzt erschienen bei Hanser seine Bestseller Die Zahl, die aus der Kälte kam und Die Mathematik des Daseins.

Beschreibung für Leser
Unterstützte Lesegerätegruppen: PC/MAC/eReader/Tablet

Der Beitrag des Nicole Oresme

Nicole Oresme, auch Nikolaus von Oresme genannt, war im 14. Jahrhundert neben Eckhart von Hochheim, Wilhelm von Ockham und Johannes Buridan einer der einflussreichsten Meister, zugleich Priester und zuletzt Bischof von Lisieux. Die Beschäftigung mit der über alles Endliche hinausreichenden Transzendenz verführte die mittelalterlichen Gelehrten, mit dem Unendlichen zu rechnen. Diese geistige Freiheit ermöglichte Nicole Oresme, zu einer beeindruckenden Erkenntnis zu gelangen:

Nicole Oresme versuchte, unendlich viele Größen zu addieren. Wobei es sich, um genau zu sein, um Kehrwerte von Zahlen handelt.

Wir betrachten dazu ein erstes Beispiel: Es sollen die Kehrwerte der Zweierpotenzen 2, 2 × 2 = 4, 2 × 2 × 2 = 8, 2 × 2 × 2 × 2 = 16 und daran anschließend 32, 64, 128, 256, ... addiert werden. Wir betrachten also die Summe

mit einer unendlichen Fülle von Summanden. Die Aufgabe lautet: Rechne das aus! Sicher wusste Oresme bereits um die Lösung. Das Ergebnis beträgt genau 1. Die Begründung dafür ist nicht besonders kompliziert: Betrachtet man nur den ersten Summanden 1/2, fehlt 1/2 bis zur behaupteten Summe 1. Betrachtet man die Summe der ersten beiden Summanden, also 1/2 + 1/4 = 3/4, fehlt 1/4 bis zur behaupteten Summe 1. Betrachtet man die Summe der ersten drei Summanden, also 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8, fehlt 1/8 bis zur behaupteten Summe 1. Und betrachtet man die Summe der ersten vier Summanden, also 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16, fehlt 1/16 bis zur behaupteten Summe 1. Hieraus erkennen wir: Bricht man die Summe bei irgendeinem Kehrwert einer Zweierpotenz ab, fehlt genau dieser Kehrwert der Zweierpotenz bis zum behaupteten Wert 1. Doch addiert man die Kehrwerte aller Zweierpotenzen, bleibt nichts mehr übrig, was zum behaupteten Wert 1 der Summe fehlt. Die Summe der Kehrwerte aller Zweierpotenzen muss folglich exakt mit 1 übereinstimmen.

Dies ist deshalb ein bemerkenswertes Resultat, weil diese Summe aus unendlich vielen Summanden besteht. Trotz dieser Tatsache bleibt sie beschränkt; wir konnten sogar ihren Wert berechnen.

Viel heikler ist das zweite Beispiel: Es sollen zu 1 die Kehrwerte der Quadratzahlen 2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9, 4 × 4 = 16, 5 × 5 = 25, 6 × 6 = 36, 7 × 7 = 49, ... addiert werden. Wir betrachten also die Summe

mit einer unendlichen Fülle von Summanden. Die Aufgabe lautet: Rechne das aus! Ob Nicole Oresme diese Aufgabe kannte, ist nicht sicher. Jedenfalls kannte sie der ebenfalls dem geistlichen Stande angehörende Pietro Mengoli, der 300 Jahre nach Oresme lebte und, ohne es zu wissen, die Gedankenführungen seines großen mittelalterlichen Meisters oft wiederholte. Mengoli wusste: Obwohl auch in dieser Summe unendlich viele Summanden stehen, wir